Ανάλογα και Αντιστρόφως ανάλογα ποσά

ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

Λέγοντας ανάλογα ποσά αναφερόμαστε σε 2 (δύο) ποσά που όταν πολλαπλασιάζεται ή διαιρείται η τιμή του ενός ποσού με έναν αριθμό, τότε πολλαπλασιάζεται ή διαιρείται και η αντίστοιχη τιμή του άλλου ποσού με τον ίδιο αριθμό. 

Π.Χ.  1 λίτρο γάλα έχει 1 Ευρώ. Τα 2 λίτρα γάλα έχουν 2 ∙ 1 = 2 ευρώ ενώ το (1/2) μισό λίτρο γάλα έχει 1:2 = 0,5 ευρώ.

Βλέπουμε λοιπόν ότι στα ανάλογα ποσά οι λόγοι των αντίστοιχων τιμών τους είναι ίσοι και σχηματίζουν αναλογία.

Στα προβλήματα των ανάλογων ποσών δημιουργούμε έναν πίνακα τιμών και υπολογίζουμε το ζητούμενο (άγνωστο)  με τη βοήθεια του χιαστί γινόμενου. 

Έστω λοιπόν ότι μας έχουν δώσει το παρακάτω πρόβλημα:

Τα 5 σακιά ρύζι ζυγίζουν 40 κιλά. Πόσο ζυγίζουν τα 8 σακιά;

Τα ποσά που μας δίνουν είναι τα σακιά και τα κιλά ρύζι. Αρχικά με τα ποσά αυτά δημιουργούμε έναν πίνακα ποσών όπως φαίνεται παρακάτω:

Σακιά	5	8
Κιλά ρύζι	40	Χ

 

Προσοχή στην μία γραμμή του πίνακα τιμών βάζω τα σακιά και στην άλλη γραμμή του πίνακα τιμών τα κιλά ρύζι. 

Για να λύσουμε ένα τέτοιο πρόβλημα ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα :

α) παίρνουμε τα χιαστί γινόμενα.

5 ∙ Χ = 40 ∙ 8 (χιαστί γινόμενα)

β) κάνουμε τον πολλαπλασιασμό στο 2^ο μέρος

5 ∙ Χ = 320 

γ) για να βρούμε τον άγνωστο (Χ) διαιρούμε το γινόμενο που υπολογίσαμε στο 2^ο μέρος (δηλαδή το ποσό που προέκυψε από τον πολλαπλασιασμό που κάναμε στο προηγούμενο βήμα) με τον συντελεστή του (δηλαδή τον αριθμό που βρίσκεται μαζί με το Χ). 

Χ = 320 : 5 

δηλαδή Χ = 64.  Άρα τα 8 σακιά περιέχουν 64 κιλά ρύζι.

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

Λέγοντας αντιστρόφως ανάλογα ποσά αναφερόμαστε σε 2 (δύο) ποσά που όταν η τιμή του ενός ποσού πολλαπλασιάζεται με έναν αριθμό, τότε και η αντίστοιχη τιμή του άλλου ποσού διαιρείται με τον ίδιο αριθμό.

Π.Χ. έστω ότι για να χτιστεί ένας τοίχος χρειάζεται να δουλέψουν 2 εργάτες για 6 ημέρες. Αν διπλασιάσω τον αριθμό των εργατών (4 εργάτες) ο τοίχος θα είναι έτοιμος στις μισές ημέρες (3 ημέρες). Δηλαδή πολλαπλασιάζοντας επί δύο τον αριθμό των εργατών, διαιρώ επί δύο τον αριθμό των ημερών που χρειάζεται για να ολοκληρωθεί η κατασκευή του τοίχου.

Επομένως στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά τα γινόμενα των αντίστοιχων τιμών τους είναι ίσα. Δηλαδή τα κάθετα γινόμενα είναι ίσα: 

2 (εργάτες) ∙ 6 (ημέρες) = 4 (εργάτες) ∙ 3 (ημέρες) = 12 (εργατοημέρες).

Στα προβλήματα των αντιστρόφως ανάλογων ποσών δημιουργούμε έναν πίνακα ποσών και υπολογίζουμε το γινόμενο των τιμών. Πιο συγκεκριμένα:

5 εργάτες βάφουν ένα δωμάτιο σε 10 ώρες. Αν οι εργάτες ήταν 2, σε πόσες ώρες θα έβαφαν το ίδιο δωμάτιο;

Έστω λοιπόν ότι μας έχουν δώσει το παραπάνω πρόβλημα. Τα ποσά που μας δίνουν είναι ο αριθμός των εργατών και οι ώρες που απαιτούνται για να βάψουν το δωμάτιο. Δημιουργούμε έναν πίνακα ποσών.

Εργάτες	5	2
Ώρες	10	Χ

 

Για να λύσουμε ένα τέτοιο πρόβλημα ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα :

α) Παίρνουμε τα γινόμενα των ποσών.

2 ∙ Χ = 5 ∙ 10 (γινόμενα ποσών)

β) κάνουμε τον πολλαπλασιασμό στο 2^ο μέρος

2 ∙ Χ = 50

γ) για να βρούμε τον άγνωστο (Χ) διαιρούμε το γινόμενο που υπολογίσαμε στο 2^ο μέρος (δηλαδή το ποσό που προέκυψε από τον πολλαπλασιασμό που κάναμε στο προηγούμενο βήμα) με τον συντελεστή του (δηλαδή τον αριθμό που βρίσκεται μαζί με το Χ). 

Χ = 50 : 2 

Άρα Χ = 25. Δηλαδή οι 2 εργάτες θα βάψουν το δωμάτιο σε 25 ώρες.